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view fig/zf-record.html @ 710:d20ba4b64ef3
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author | Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp> |
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date | Thu, 14 Jul 2022 06:00:18 +0900 |
parents | a5f8084b8368 |
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<html> <META HTTP-EQUIV="Content-Type" CONTENT="text/html; charset=UTF-8"> <pre> record ZF {n m : Level } : Set (suc (n ⊔ m)) where field ZFSet : Set n _∋_ : ( A x : ZFSet ) → Set m _≈_ : ( A B : ZFSet ) → Set m ∅ : ZFSet _,_ : ( A B : ZFSet ) → ZFSet Union : ( A : ZFSet ) → ZFSet Power : ( A : ZFSet ) → ZFSet Select : (X : ZFSet ) → ( ψ : (x : ZFSet ) → Set m ) → ZFSet Replace : ZFSet → ( ZFSet → ZFSet ) → ZFSet infinite : ZFSet isZF : IsZF ZFSet _∋_ _≈_ ∅ _,_ Union Power Select Replace infinite record IsZF {n m : Level } (ZFSet : Set n) (_∋_ : ( A x : ZFSet ) → Set m) (_≈_ : Rel ZFSet m) (∅ : ZFSet) (_,_ : ( A B : ZFSet ) → ZFSet) (Union : ( A : ZFSet ) → ZFSet) (Power : ( A : ZFSet ) → ZFSet) (Select : (X : ZFSet ) → ( ψ : (x : ZFSet ) → Set m ) → ZFSet ) (Replace : ZFSet → ( ZFSet → ZFSet ) → ZFSet ) (infinite : ZFSet) : Set (suc (n ⊔ m)) where field isEquivalence : IsEquivalence {n} {m} {ZFSet} _≈_ pair→ : ( x y t : ZFSet ) → (x , y) ∋ t → ( t ≈ x ) ∨ ( t ≈ y ) pair← : ( x y t : ZFSet ) → ( t ≈ x ) ∨ ( t ≈ y ) → (x , y) ∋ t union→ : ( X z u : ZFSet ) → ( X ∋ u ) ∧ (u ∋ z ) → Union X ∋ z union← : ( X z : ZFSet ) → (X∋z : Union X ∋ z ) → ¬ ( (u : ZFSet ) → ¬ ((X ∋ u) ∧ (u ∋ z ))) empty : ∀( x : ZFSet ) → ¬ ( ∅ ∋ x ) power→ : ∀( A t : ZFSet ) → Power A ∋ t → ∀ {x} → t ∋ x → ¬ ¬ ( A ∋ x ) -- _⊆_ t A {x} power← : ∀( A t : ZFSet ) → ( ∀ {x} → _⊆_ t A {x}) → Power A ∋ t extensionality : { A B w : ZFSet } → ( (z : ZFSet) → ( A ∋ z ) ⇔ (B ∋ z) ) → ( A ∈ w ⇔ B ∈ w ) regularity : ∀ x ( x ≠ ∅ → ∃ y ∈ x ( y ∩ x = ∅ ) ) minimal : (x : ZFSet ) → ¬ (x ≈ ∅) → ZFSet regularity : ∀( x : ZFSet ) → (not : ¬ (x ≈ ∅)) → ( minimal x not ∈ x ∧ ( minimal x not ∩ x ≈ ∅ ) ) ε-induction : { ψ : ZFSet → Set m} → ( {x : ZFSet } → ({ y : ZFSet } → x ∋ y → ψ y ) → ψ x ) → (x : ZFSet ) → ψ x infinity∅ : ∅ ∈ infinite infinity : ∀( x : ZFSet ) → x ∈ infinite → ( x ∪ { x }) ∈ infinite selection : { ψ : ZFSet → Set m } → ∀ { X y : ZFSet } → ( ( y ∈ X ) ∧ ψ y ) ⇔ (y ∈ Select X ψ ) replacement← : {ψ : ZFSet → ZFSet} → ∀ ( X x : ZFSet ) → x ∈ X → ψ x ∈ Replace X ψ replacement→ : {ψ : ZFSet → ZFSet} → ∀ ( X x : ZFSet ) → ( lt : x ∈ Replace X ψ ) → ¬ ( ∀ (y : ZFSet) → ¬ ( x ≈ ψ y ) ) choice-func : (X : ZFSet ) → {x : ZFSet } → ¬ ( x ≈ ∅ ) → ( X ∋ x ) → ZFSet choice : (X : ZFSet ) → {A : ZFSet } → ( X∋A : X ∋ A ) → (not : ¬ ( A ≈ ∅ )) → A ∋ choice-func X not X∋A </div> <hr/> Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp> / Fri Jan 10 12:24:29 2020 </body></html>