Mercurial > hg > Members > kono > Proof > automaton
annotate a04/lecture.ind @ 381:113330c6e896
...
| author | Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp> |
|---|---|
| date | Mon, 24 Jul 2023 15:49:41 +0900 |
| parents | 6f3636fbc481 |
| children | 3d0aa205edf9 |
| rev | line source |
|---|---|
| 37 | 1 -title: 非決定性オートマトン |
| 2 | |
| 3 決定性オートマトンは入力に対して次の状態が一意に決まる。一つの入力に対して可能な状態が複数ある場合を考える。 | |
| 141 | 4 例えば、ドアの鍵がテンキーだったら、次に何を入れるかには自由度がある。 |
| 5 この拡張は容易で、状態遷移関数が状態の代わりに状態のリストを返せば良い。しかし、リストを使うとかなり煩雑になる。 | |
| 37 | 6 |
| 141 | 7 このようなものが必要な理由は、 Regular Language の Concatを考えるためである。 |
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104
fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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69
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8 |
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fba1cd54581d
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Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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69
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9 Regular Language は Concatについて閉じている。これは オートマトン A と B があった時に、z を前半 x ++ y |
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fba1cd54581d
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Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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10 にわけて x を A が受理し、y を B で受理するものを、単一ののオートマトンで実現できると言う意味である。 |
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fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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11 しかい、 これを決定性オートマトンで示すのは難しい。A ++ B の 境目がどこかを前もって予測することができないからである。 |
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fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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12 |
| 331 | 13 二つのオートマトンが、a0..ae b0..be につながる様子を図にしてみる。 |
| 14 | |
| 141 | 15 <center><img src="fig/concat.svg"></center> |
| 16 | |
| 17 このためには後半のB automatonを、前半のA automatonが終わる可能性がある時だけ、 | |
| 18 一文字毎に増やしてやればよい。増やしたものの一つでも成功すればよい。Bが増えるので、その増えた状態を覚えておく必要がある。 | |
| 19 | |
| 20 an (Aのn番目の状態)と、b0...bn の部分集合 | |
| 21 | |
| 22 状態はAの状態とBの状態の部分集合の組になる。 | |
| 23 | |
| 331 | 24 --(a.*f)(b.*f) を考えよう |
| 25 | |
| 26 abcfbffbcdf は、この正規表現にマッチする。a.*fb.*f と書いても良い。 | |
| 27 | |
| 28 a.*f は以下の状態遷移で書ける。 | |
| 29 | |
| 30 State は a0,a1,ae,af で、ae ならば受理。 | |
| 31 | |
| 32 δa a0 a = a1 | |
| 33 δa a1 f = ae | |
| 34 δa a1 _ = a1 | |
| 35 δa a0 _ = af | |
| 36 | |
| 37 b.*f もどうように書ける。 | |
| 38 | |
| 39 δb b0 b = b1 | |
| 40 δb b1 f = be | |
| 41 δb b1 _ = b1 | |
| 42 δb b0 _ = bf | |
| 43 | |
| 44 これを使って、a.*fb.*f を受理してみる。 | |
| 45 | |
| 46 <center><img src="fig/af-concat.svg"></center> | |
| 47 | |
| 48 受理パターンは二通りある。これを非決定性があるという。 | |
| 49 | |
| 50 この状況は、f がきた時に a.*f を終了しても良く、終了しなくてよいことから来てる。 | |
| 51 | |
| 52 なので、それを許すオートマトンを考える。 | |
| 53 | |
| 141 | 54 --非決定性オートマトン |
| 55 | |
| 331 | 56 オートマトンの状態遷移は関数だった。 |
| 57 | |
| 58 δ : Q → Σ → Q | |
| 59 | |
| 60 その代わりに、複数の状態を許したい。Aの場合なら、f でaeにもa1にもいって良い。 | |
| 61 それには、a1の状態で f がきた時に ae と a1 で true を返すようにすると良い。 | |
| 62 行き先の状態を Q → Bool で、部分集合として指定する。 | |
| 141 | 63 |
| 331 | 64 record NAutomaton ( Q : Set ) ( Σ : Set ) |
| 65 : Set where | |
| 66 field | |
| 67 Nδ : Q → Σ → Q → Bool | |
| 68 Nend : Q → Bool | |
| 69 | |
| 70 これを非決定性オートマトンという。 | |
| 71 | |
| 72 入力にそって、可能な状態の集合を作ってやれば良い。そうすると | |
| 73 決定性オートマトンにできる。 | |
| 74 | |
| 75 <center><img src="fig/afbf.svg"></center> | |
| 76 | |
| 77 | |
| 78 --もう一つの例 | |
| 79 | |
| 80 | |
| 81 この場合では 1 が来た時に q1 に行っても、q2,q3 に行っても良い。q1から始める。 | |
| 141 | 82 |
| 83 q1 0 → q1 | |
| 84 q1 1 → q1 | |
| 85 q1 1 → q2 | |
| 86 q1 1 → q3 | |
| 87 q2 0 → q3 | |
| 88 q3 1 → q4 | |
| 89 q4 0 → q4 | |
| 90 q4 1 → q4 | |
| 91 | |
| 92 最後に q4で accept。 | |
| 93 | |
| 94 <center><img src="fig/nfa.svg"></center> | |
| 95 | |
| 96 この時に、入力に従って状態の部分集合を計算していく方法でNFAのacceptを決定できる。 | |
| 97 | |
| 98 このNFA(nondeterministic automaton)は .*(101|11).* に対応している。 | |
| 99 | |
| 100 | |
|
104
fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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101 --Agda での非決定性オートマトン |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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102 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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103 ここでは、部分集合を写像を使って表す。集合 Q から Bool (true または false) への写像を使う。true になる要素が |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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104 部分集合になる。すると、遷移関数は入力Σと状態から Bool への写像となる。終了条件は変わらない。 |
| 37 | 105 |
| 106 record NAutomaton ( Q : Set ) ( Σ : Set ) | |
| 107 : Set where | |
| 108 field | |
| 69 | 109 Nδ : Q → Σ → Q → Bool |
| 110 Nend : Q → Bool | |
| 37 | 111 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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112 これを非決定性オートマトンという。Agda では同じ名前を使いまわしすることはできない(monomorpphism)ので、Nを付けた。 |
| 37 | 113 |
| 331 | 114 たとえば、以下のように非決定的な状態遷移を定義する |
| 115 | |
| 116 transition3 : States1 → In2 → States1 → Bool | |
| 117 transition3 sr i0 sr = true | |
| 118 transition3 sr i1 ss = true | |
| 119 transition3 sr i1 sr = true | |
| 120 transition3 ss i0 sr = true | |
| 121 transition3 ss i1 st = true | |
| 122 transition3 st i0 sr = true | |
| 123 transition3 st i1 st = true | |
| 124 transition3 _ _ _ = false | |
| 125 | |
| 126 | |
| 127 <a href="../agda/src/nfa.agda"> nfa.agda </a> | |
| 37 | 128 |
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104
fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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129 --NAutomatonの受理と遷移 |
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Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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130 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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131 非決定性オートマトンでは、一つの入力に対して、複数の状態が行き先になる。複数の状態を経由した経路のどれかが |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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132 入力を読み終わった後に、終了状態になれば受理されることになる。 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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133 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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134 このためには、状態の集合Qから条件 P : Q → Bool で true になるものを見つけ出す必要がある。 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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135 |
| 326 | 136 --状態と入力の List を使って深さ優先探索する |
| 137 | |
| 138 {-# TERMINATING #-} | |
| 139 NtraceDepth : { Q : Set } { Σ : Set } | |
| 140 → NAutomaton Q Σ | |
| 141 → (Nstart : Q → Bool) → List Q → List Σ → List (List ( Σ ∧ Q )) | |
| 142 NtraceDepth {Q} {Σ} M sb all is = ndepth all sb is [] [] where | |
| 143 ndepth : List Q → (q : Q → Bool ) → List Σ → List ( Σ ∧ Q ) → List (List ( Σ ∧ Q ) ) → List (List ( Σ ∧ Q ) ) | |
| 144 ndepth1 : Q → Σ → List Q → List Σ → List ( Σ ∧ Q ) → List ( List ( Σ ∧ Q )) → List ( List ( Σ ∧ Q )) | |
| 145 ndepth1 q i [] is t t1 = t1 | |
| 146 ndepth1 q i (x ∷ qns) is t t1 = ndepth all (Nδ M x i) is (⟪ i , q ⟫ ∷ t) (ndepth1 q i qns is t t1 ) | |
| 147 ndepth [] sb is t t1 = t1 | |
| 148 ndepth (q ∷ qs) sb [] t t1 with sb q /\ Nend M q | |
| 149 ... | true = ndepth qs sb [] t ( t ∷ t1 ) | |
| 150 ... | false = ndepth qs sb [] t t1 | |
| 151 ndepth (q ∷ qs) sb (i ∷ is) t t1 with sb q | |
| 152 ... | true = ndepth qs sb (i ∷ is) t (ndepth1 q i all is t t1 ) | |
| 153 ... | false = ndepth qs sb (i ∷ is) t t1 | |
| 154 | |
| 155 確かに動く。しかし、複雑すぎる。 | |
| 156 | |
| 157 --状態の部分集合を使う | |
| 158 | |
|
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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159 true になるものは複数あるので、やはり部分集合で表される。つまり、 |
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Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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160 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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161 exists : ( P : Q → Bool ) → Q → Bool |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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162 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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163 このような関数を実現する必要がある。 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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164 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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165 もし、Q が有限集合なら、P を順々に調べていけばよい。やはり List で良いのだが、ここでは Agda の Data.Fin を使ってみよう。 |
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Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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166 |
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Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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167 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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168 --NAutomatonの受理と遷移 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
170 状態の受理と遷移は exists を使って以下のようになる。 |
| 37 | 171 |
| 172 Nmoves : { Q : Set } { Σ : Set } | |
| 173 → NAutomaton Q Σ | |
| 332 | 174 → (exists : ( Q → Bool ) → Bool) |
| 175 → ( Qs : Q → Bool ) → (s : Σ ) → ( Q → Bool ) | |
| 176 Nmoves {Q} { Σ} M exists Qs s = λ q → exists ( λ qn → (Qs qn /\ ( Nδ M qn s q ) )) | |
| 37 | 177 |
|
104
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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178 Qs は Q → Bool の型を持っているので、Qs qn は true または false である。今の状態集合 Qs に含まれていて、 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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179 Nδ M qn s q つまり、非決定オートマトン M の遷移関数 Nδ : Q → Σ → Q → Bool で true を返すものが存在すれば |
| 326 | 180 遷移可能になる。(だいぶ簡単になった) |
|
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
69
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181 |
| 332 | 182 |
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fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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|
183 Naccept : { Q : Set } { Σ : Set } |
| 37 | 184 → NAutomaton Q Σ |
| 332 | 185 → (exists : ( Q → Bool ) → Bool) |
| 69 | 186 → (Nstart : Q → Bool) → List Σ → Bool |
| 332 | 187 Naccept M exists sb [] = exists ( λ q → sb q /\ Nend M q ) |
| 188 Naccept M exists sb (i ∷ t ) = Naccept M exists (λ q → exists ( λ qn → (sb qn /\ ( Nδ M qn i q ) ))) t | |
| 69 | 189 |
|
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fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
190 Naccept では終了条件を調べる。状態の集合 sb で Nend を満たすものがあることを exists を使って調べればよい。 |
| 69 | 191 |
| 37 | 192 --例題 |
| 193 | |
|
104
fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
69
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194 例題1.36 を考えよう。状態遷移関数は以下のようになる。 |
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fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
69
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195 |
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fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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196 transition136 : StatesQ → A2 → StatesQ → Bool |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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197 transition136 q1 b0 q2 = true |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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198 transition136 q1 a0 q1 = true -- q1 → ep → q3 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
69
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changeset
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199 transition136 q2 a0 q2 = true |
|
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
69
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200 transition136 q2 a0 q3 = true |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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201 transition136 q2 b0 q3 = true |
|
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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changeset
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202 transition136 q3 a0 q1 = true |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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203 transition136 _ _ _ = false |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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204 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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205 教科書にはε遷移(入力がなくても遷移できる)があるが、ここでは、ε遷移先の矢印を全部手元に持ってきてしまうという |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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206 ことしてしまう。 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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207 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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208 end136 : StatesQ → Bool |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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209 end136 q1 = true |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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210 end136 _ = false |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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211 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
69
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212 start136 : StatesQ → Bool |
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fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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changeset
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213 start136 q1 = true |
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fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
69
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changeset
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214 start136 _ = false |
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fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
69
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changeset
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215 |
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fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
69
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changeset
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216 nfa136 : NAutomaton StatesQ A2 |
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fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
69
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changeset
|
217 nfa136 = record { Nδ = transition136; Nend = end136 } |
|
fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
69
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218 |
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fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
69
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219 <a href=" ../agda/nfa136.agda"> 1.36 の例題 </a> |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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221 example136-1 = Naccept nfa136 finStateQ start136( a0 ∷ b0 ∷ a0 ∷ [] ) |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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223 最初の状態 q1 から a0 ∷ b0 ∷ a0 ∷ [] の入力を受けとる場合を考える。 |
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fba1cd54581d
use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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225 a0 を受けとると、q1 にしか行けない。q1 で b0 を受けとると、q2 に移動する。q2 で a0 を受けとると、q3 か、または、 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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226 q2 に行ける。どちらも終了状態ではないので、不受理となる。ここで、もう一つ a0 が来れば q3 から q1 に行ける。q2 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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227 から行けないが、どれかの経路が成功すれば良いので受理となる。 |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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229 example136-2 = Naccept nfa136 finStateQ start136( a0 ∷ b0 ∷ a0 ∷ a0 ∷ [] ) |
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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use exists in cond, nfa example
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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