# HG changeset patch
# User Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
# Date 1423442829 -32400
# Node ID 7d94faaeb4486db57d02c4101494cf9e7d49fd06
# Parent  beebe0ffbcad1b00d0ac563c8dd431585f54d1a0
Add natural transformation in program

diff -r beebe0ffbcad -r 7d94faaeb448 appendix.tex
--- a/appendix.tex	Sun Feb 08 22:34:58 2015 +0900
+++ b/appendix.tex	Mon Feb 09 09:47:09 2015 +0900
@@ -1,1 +1,2 @@
 % TODO: 実験環境
+% TODO: Delta と DeltaM の本体
diff -r beebe0ffbcad -r 7d94faaeb448 category.tex
--- a/category.tex	Sun Feb 08 22:34:58 2015 +0900
+++ b/category.tex	Mon Feb 09 09:47:09 2015 +0900
@@ -428,6 +428,60 @@
 
 % }}}
 
-\section{Monads in Functional Programming}
+% {{{ Natural Transformation in Functional Programming
+
+\section{Natural Transformation in Functional Programming}
+\label{section:natural_transformation_in_program}
+\ref{section:functor_in_program}節ではプログラムにおける functor を定義した。
+\ref{section:natural_transformation_in_program}節ではプログラムにおける natural transformation について述べる。
+
+natural transformation は functor と functor 間の変換である。
+プログラムにおいて functor は型引数を持つデータ構造であったため、データ構造からデータ構造への変換となる。
+
+natural transformationは図\ref{fig:natural_transformation}で示したような可換図が可換になるような t であった。
+つまりある functor f と g があった時に、 f において morphism を適用してtを適用しても、t を適用してから g において morphism を適用しても結果が変わらないような t を提供できれば良い。
+
+プログラムにおける natural transformation は t は図\ref{fig:natural_transformation}を満たすような関数として表現される。
+Haskell において特定の関数が持つ性質を制約として記述することはできないため、Haskell において natural transformation の具体的な定義は存在しない。
+
+List における natural transformation の例としては、List の先頭を除いた List を返す tail 関数がある(\ref{src:natural_transformation_in_haskell})。
+
+\begin{table}[html]
+    \lstinputlisting[label=src:natural_transformation_in_haskell, caption=List の先頭を除いた List を返す tail 関数] {src/natural_transformation_list.hs}
+\end{table}
+
+100, 200, 300 の数値を持つ List Int を考える。
+この List が functor f に相当する。
+Int を取り Bool を返す関数 even を fmap により適用すると List Bool が得られる。
 
-プログラムにおける
+ここで natural transformation tail を考える。
+tail は List a から List a への関数であるため、 functor f,g は両方とも List である。
+natural transformation の定義から、 tail を行なってから fmap even しても、 fmap even を行なってら tail を行なっても結果が同じであれば良い。
+実行した結果がリスト\ref{src:exec_tail}である。
+
+\begin{table}[html]
+    \lstinputlisting[label=src:exec_tail, caption=tail の実行例] {src/exec_tail_in_haskell.txt}
+\end{table}
+
+tail (fmap even list) と fmap even (tail list) の型が同じように List Bool であり、値も等しいことが分かる。
+なお、 tail は同一名の関数が既に定義されているため、 Main.tail として名前を指定している。
+List の値を変換してから先頭を除いても、List の先頭を除いてから値を変換しても結果が同じであることは直感的にも正しいように思える。
+
+これがプログラムにおける natural transformation である。
+
+図で表すと、図\ref{fig:natural_transformation_in_program}のような可換図となり、これは可換である。
+
+\begin{figure}[htbp]
+    \begin{center}
+        \includegraphics[scale=1.0]{fig/natural_transformation_in_haskell.pdf}
+        \caption{natural transformation tail の可換図}
+        \label{fig:natural_transformation_in_program}
+    \end{center}
+\end{figure}
+
+% }}}
+
+
+\section{Monads in Functional Programming}
+\label{section:monads_in_program}
+
diff -r beebe0ffbcad -r 7d94faaeb448 fig/delta_example.xbb
--- a/fig/delta_example.xbb	Sun Feb 08 22:34:58 2015 +0900
+++ b/fig/delta_example.xbb	Mon Feb 09 09:47:09 2015 +0900
@@ -4,5 +4,5 @@
 %%HiResBoundingBox: 0.000000 0.000000 559.000000 279.000000
 %%PDFVersion: 1.3
 %%Pages: 1
-%%CreationDate: Sun Feb  8 21:05:26 2015
+%%CreationDate: Mon Feb  9 09:44:36 2015
 
diff -r beebe0ffbcad -r 7d94faaeb448 fig/functor.xbb
--- a/fig/functor.xbb	Sun Feb 08 22:34:58 2015 +0900
+++ b/fig/functor.xbb	Mon Feb 09 09:47:09 2015 +0900
@@ -4,5 +4,5 @@
 %%HiResBoundingBox: 0.000000 0.000000 545.000000 456.000000
 %%PDFVersion: 1.3
 %%Pages: 1
-%%CreationDate: Sun Feb  8 21:05:26 2015
+%%CreationDate: Mon Feb  9 09:44:36 2015
 
diff -r beebe0ffbcad -r 7d94faaeb448 fig/functor_in_haskell.xbb
--- a/fig/functor_in_haskell.xbb	Sun Feb 08 22:34:58 2015 +0900
+++ b/fig/functor_in_haskell.xbb	Mon Feb 09 09:47:09 2015 +0900
@@ -4,5 +4,5 @@
 %%HiResBoundingBox: 0.000000 0.000000 324.000000 176.000000
 %%PDFVersion: 1.3
 %%Pages: 1
-%%CreationDate: Sun Feb  8 21:05:26 2015
+%%CreationDate: Mon Feb  9 09:44:36 2015
 
diff -r beebe0ffbcad -r 7d94faaeb448 fig/monad_laws.xbb
--- a/fig/monad_laws.xbb	Sun Feb 08 22:34:58 2015 +0900
+++ b/fig/monad_laws.xbb	Mon Feb 09 09:47:09 2015 +0900
@@ -4,5 +4,5 @@
 %%HiResBoundingBox: 0.000000 0.000000 464.000000 137.000000
 %%PDFVersion: 1.3
 %%Pages: 1
-%%CreationDate: Sun Feb  8 21:05:26 2015
+%%CreationDate: Mon Feb  9 09:44:36 2015
 
diff -r beebe0ffbcad -r 7d94faaeb448 fig/morphism_composition_law.xbb
--- a/fig/morphism_composition_law.xbb	Sun Feb 08 22:34:58 2015 +0900
+++ b/fig/morphism_composition_law.xbb	Mon Feb 09 09:47:09 2015 +0900
@@ -4,5 +4,5 @@
 %%HiResBoundingBox: 0.000000 0.000000 412.000000 273.000000
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-%%CreationDate: Sun Feb  8 21:05:26 2015
+%%CreationDate: Mon Feb  9 09:44:36 2015
 
diff -r beebe0ffbcad -r 7d94faaeb448 fig/natural_transformation.xbb
--- a/fig/natural_transformation.xbb	Sun Feb 08 22:34:58 2015 +0900
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@@ -4,5 +4,5 @@
 %%HiResBoundingBox: 0.000000 0.000000 211.000000 136.000000
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+%%CreationDate: Mon Feb  9 09:44:36 2015
 
diff -r beebe0ffbcad -r 7d94faaeb448 fig/non_delta_example.xbb
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 %%HiResBoundingBox: 0.000000 0.000000 504.000000 244.000000
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diff -r beebe0ffbcad -r 7d94faaeb448 fig/simple_category.xbb
--- a/fig/simple_category.xbb	Sun Feb 08 22:34:58 2015 +0900
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@@ -4,5 +4,5 @@
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