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annotate paper/agda.tex @ 60:1181b4facaf9
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| author | Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> |
|---|---|
| date | Mon, 16 Feb 2015 17:09:53 +0900 |
| parents | agda.tex@5f0e13923cfd |
| children | ce7701e4a308 |
| rev | line source |
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470d99799398
Add description functor record
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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1 \chapter{証明支援系言語 Agda による証明手法} |
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Add description for natural deduction
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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2 \label{chapter:agda} |
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Writing description proofs of monad-laws for delta
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3 第\ref{chapter:category}章では functor, natural transformation, monad の定義を行ない、第\ref{chapter:functional_programming}章では functional programming における対応を述べた。 |
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4 その中で、 Functor 則や Monad 則といった満たすべき性質がいくつか存在した。 |
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5 functional programming において、あるデータ型と対応する計算が Functor 則を満たすかの保証は言語の実装に依存している。 |
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6 例えば、 Haskell において functor は型クラスによって提供されるため、型レベルのチェックを行なう。 |
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Writing description proofs of monad-laws for delta
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7 そのため、型チェックは通るが Functor 則を満たさない functor が定義できてしまう。 |
| 57 | 8 よって Haskell において Delta Monad を定義しただけでは Delta Monad が Monad であるかの証明が存在しない。 |
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9 そこで証明支援系言語 Agda を用いて、 Delta が Functor 則と Monad 則を満たすことを証明する。 |
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11 第\ref{chapter:agda}章は Agda における証明手法について述べる。 |
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13 % {{{ Natural Deduction |
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15 \section{Natural Deduction} |
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16 \label{section:natural_deduction} |
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17 証明には natural deduction(自然演繹)を用いる。 |
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18 natural deduction は Gentzen によって作られた論理と、その証明システムである~\cite{Girard:1989:PT:64805}。 |
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19 命題変数と記号を用いた論理式で論理を記述し、推論規則により変形することで求める論理式を導く。 |
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21 natural deduction において |
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23 \begin{eqnarray} |
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24 \vdots \\ \nonumber |
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25 A \\ \nonumber |
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26 \end{eqnarray} |
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28 と書いた時、最終的に命題Aを証明したことを意味する。 |
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29 証明は木構造で表わされ、葉の命題は仮定となる。 |
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30 仮定には dead か alive の2つの状態が存在する。 |
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32 \begin{eqnarray} |
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33 \label{exp:a_implies_b} |
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34 A \\ \nonumber |
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35 \vdots \\ \nonumber |
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36 B \\ \nonumber |
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37 \end{eqnarray} |
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39 式\ref{exp:a_implies_b}のように A を仮定して B を導くことができたとする。 |
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40 この時 A は alive な仮定である。 |
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41 証明された B は A の仮定に依存していることを意味する。 |
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43 ここで、推論規則により記号 $ \Rightarrow $ を導入する。 |
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45 \begin{prooftree} |
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46 \AxiomC{[$ A $]} |
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47 \noLine |
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48 \UnaryInfC{ $ \vdots $} |
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49 \noLine |
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50 \UnaryInfC{ $ B $ } |
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51 \RightLabel{ $ \Rightarrow \mathcal{I} $} |
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52 \UnaryInfC{$ A \Rightarrow B $} |
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53 \end{prooftree} |
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55 そうすると、仮定 A は dead となり、新たな命題 $ A \Rightarrow B $ を導くことができる。 |
| 57 | 56 A という仮定に依存して B を導く証明から、「A が存在すれば B が存在する」という証明を導いたこととなる。 |
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57 このように、仮定から始めて最終的に全ての仮定を dead とすることで、仮定に依存しない証明を導くことができる。 |
| 57 | 58 なお、dead な仮定は \verb/[A]/ のように \verb/[]/ で囲んで書く。 |
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| 57 | 60 alive な仮定を dead にすることができるのは $ \Rightarrow \mathcal{I} $ 規則のみである。 |
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61 それを踏まえ、 natural deduction には以下のような規則が存在する。 |
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63 \begin{itemize} |
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64 \item Hypothesis |
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66 仮定。葉にある式が仮定となるため、論理式A を仮定する場合に以下のように書く。 |
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68 $ A $ |
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70 \item Introductions |
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72 導入。証明された論理式に対して記号を導入することで新たな証明を導く。 |
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75 \begin{prooftree} |
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76 \AxiomC{ $ \vdots $} |
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78 \UnaryInfC{ $ A $ } |
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79 \AxiomC{ $ \vdots $} |
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81 \UnaryInfC{ $ B $ } |
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82 \RightLabel{ $ \land \mathcal{I} $} |
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83 \BinaryInfC{$ A \land B $} |
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84 \end{prooftree} |
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86 \begin{prooftree} |
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87 \AxiomC{ $ \vdots $} |
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88 \noLine |
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89 \UnaryInfC{ $ A $ } |
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90 \RightLabel{ $ \lor 1 \mathcal{I} $} |
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91 \UnaryInfC{$ A \lor B $} |
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92 \end{prooftree} |
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94 \begin{prooftree} |
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95 \AxiomC{ $ \vdots $} |
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97 \UnaryInfC{ $ B $ } |
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98 \RightLabel{ $ \lor 2 \mathcal{I} $} |
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Add description for natural deduction
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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99 \UnaryInfC{$ A \lor B $} |
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Add description for natural deduction
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100 \end{prooftree} |
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Add description for natural deduction
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101 |
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102 \begin{prooftree} |
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103 \AxiomC{[$ A $]} |
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104 \noLine |
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105 \UnaryInfC{ $ \vdots $} |
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106 \noLine |
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107 \UnaryInfC{ $ B $ } |
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108 \RightLabel{ $ \Rightarrow \mathcal{I} $} |
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109 \UnaryInfC{$ A \Rightarrow B $} |
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110 \end{prooftree} |
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111 |
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112 \item Eliminations |
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113 |
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114 除去。ある論理記号で構成された証明から別の証明を導く。 |
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115 |
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116 \begin{prooftree} |
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117 \AxiomC{ $ \vdots $} |
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118 \noLine |
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119 \UnaryInfC{ $ A \land B $ } |
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120 \RightLabel{ $ \land 1 \mathcal{E} $} |
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121 \UnaryInfC{$ A $} |
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122 \end{prooftree} |
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123 |
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124 \begin{prooftree} |
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61e5659e04a9
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125 \AxiomC{ $ \vdots $} |
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61e5659e04a9
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126 \noLine |
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61e5659e04a9
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127 \UnaryInfC{ $ A \land B $ } |
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61e5659e04a9
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128 \RightLabel{ $ \land 2 \mathcal{E} $} |
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129 \UnaryInfC{$ B $} |
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130 \end{prooftree} |
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61e5659e04a9
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131 |
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61e5659e04a9
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132 \begin{prooftree} |
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61e5659e04a9
Add description for natural deduction
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133 \AxiomC{ $ \vdots $} |
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61e5659e04a9
Add description for natural deduction
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134 \noLine |
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61e5659e04a9
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135 \UnaryInfC{ $ A \lor B $ } |
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61e5659e04a9
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136 |
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137 \AxiomC{[$A$]} |
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138 \noLine |
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61e5659e04a9
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139 \UnaryInfC{ $ \vdots $} |
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61e5659e04a9
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140 \noLine |
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61e5659e04a9
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141 \UnaryInfC{ $ C $ } |
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142 |
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61e5659e04a9
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143 \AxiomC{[$B$]} |
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61e5659e04a9
Add description for natural deduction
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144 \noLine |
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61e5659e04a9
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|
145 \UnaryInfC{ $ \vdots $} |
|
61e5659e04a9
Add description for natural deduction
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|
146 \noLine |
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61e5659e04a9
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147 \UnaryInfC{ $ C $ } |
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61e5659e04a9
Add description for natural deduction
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148 |
|
61e5659e04a9
Add description for natural deduction
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|
149 \RightLabel{ $ \lor \mathcal{E} $} |
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61e5659e04a9
Add description for natural deduction
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150 \TrinaryInfC{ $ C $ } |
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61e5659e04a9
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|
151 \end{prooftree} |
|
61e5659e04a9
Add description for natural deduction
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152 |
|
61e5659e04a9
Add description for natural deduction
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153 \begin{prooftree} |
|
61e5659e04a9
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154 \AxiomC{ $ \vdots $} |
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61e5659e04a9
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155 \noLine |
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61e5659e04a9
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156 \UnaryInfC{ $ A $ } |
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61e5659e04a9
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157 |
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158 \AxiomC{ $ \vdots $} |
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61e5659e04a9
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159 \noLine |
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61e5659e04a9
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160 \UnaryInfC{ $ A \Rightarrow B $ } |
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61e5659e04a9
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161 |
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61e5659e04a9
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|
162 \RightLabel{ $ \Rightarrow \mathcal{E} $} |
|
61e5659e04a9
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|
163 \BinaryInfC{$ B $} |
|
61e5659e04a9
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|
164 \end{prooftree} |
|
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165 |
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|
166 \end{itemize} |
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61e5659e04a9
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167 |
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61e5659e04a9
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|
168 記号 $ \lor, \land, \Rightarrow $ の導入の除去規則について述べた。 |
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|
169 natural deduction には他にも $ \forall, \exists, \bot $ といった記号が存在するが、ここでは解説を省略する。 |
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170 |
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|
171 それぞれの記号は以下のような意味を持つ |
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|
172 \begin{itemize} |
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173 \item $ \land $ |
|
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|
174 conjunction。2つの命題が成り立つことを示す。 |
|
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|
175 $ A \land B $ と記述すると A かつ B と考えることができる。 |
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|
176 |
|
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|
177 \item $ \lor $ |
|
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|
178 disjunction。2つの命題のうちどちらかが成り立つことを示す。 |
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61e5659e04a9
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|
179 $ A \lor B $ と記述すると A または B と考えることができる。 |
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180 |
|
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|
181 \item $ \Rightarrow $ |
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|
182 implication。左側の命題が成り立つ時、右側の命題が成り立つことを示す。 |
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61e5659e04a9
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|
183 $ A \Rightarrow B $ と記述すると A ならば B と考えることができる。 |
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|
184 \end{itemize} |
|
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185 |
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|
186 例として、natural deduction で三段論法を証明する。 |
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187 なお、三段論法とは「A は B であり、 B は C である。よって A は C である」といった文を示すこととする。 |
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188 |
|
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189 \begin{prooftree} |
|
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190 \AxiomC{ $ [A] $ $_{(1)}$} |
|
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|
191 \AxiomC{ [$ (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow C)$] $_{(2)}$ } |
|
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|
192 \RightLabel{ $ \land 1 \mathcal{E} $ } |
|
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|
193 \UnaryInfC{ $ (A \Rightarrow B) $ } |
|
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|
194 \BinaryInfC{ $ B $ } |
|
61e5659e04a9
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|
195 |
|
61e5659e04a9
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|
196 \AxiomC{ [$ (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow C)$] $_{(2)}$ } |
|
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|
197 \RightLabel{ $ \land 2 \mathcal{E} $ } |
|
61e5659e04a9
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Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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198 \UnaryInfC{ $ (B \Rightarrow C) $ } |
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199 |
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200 \BinaryInfC{ $ C $ } |
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201 \RightLabel{ $ \Rightarrow \mathcal{I} _{(1)}$} |
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202 \UnaryInfC{ $ A \Rightarrow C $} |
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203 \RightLabel{ $ \Rightarrow \mathcal{I} _{(2)}$} |
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204 \UnaryInfC{ $ ((A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow C)) \Rightarrow (A \Rightarrow C) $} |
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205 \end{prooftree} |
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206 |
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207 まず、三段論法を論理式で表す。 |
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208 |
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209 「A は B であり、 B は C である。よって A は C である」 が証明するべき命題である。 |
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210 まず、「A は B であり」から、Aから性質Bが導けることが分かる。これが $ A \Rightarrow B $ となる。 |
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211 次に、「B は C である」から、Bから性質Cが導けることが分かる。これが $ B \Rightarrow C $ となる。 |
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212 そしてこの2つは同時に成り立つ。 |
| 57 | 213 よって $ (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow C)$ が仮定となる。 |
| 214 この仮定が成り立つ時に「Aは Cである」を示せば良い。 | |
| 215 仮定と同じように「A は C である」は、 $ A \Rightarrow C $ と書けるため、証明するべき論理式は $ ((A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow C)) \Rightarrow (A \Rightarrow C) $ となる。 | |
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23
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216 |
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217 証明の手順はこうである。 |
| 57 | 218 まず条件$ (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow C)$とAの2つを仮定する。 |
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23
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219 条件を $ \land 1 \mathcal{E} $ $ \land 2 \mathcal{E} $ により分解する。 |
| 57 | 220 A と $ A \Rightarrow B$ から B を、 B と $ B \Rightarrow C $ から C を導く。 |
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221 ここで $ \Rightarrow \mathcal{I} $ により $ A \Rightarrow C $ を導く。 |
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222 この際に dead にする仮定は A である。 |
| 57 | 223 数回仮定を dead にする際は $_{(1)} $ のように対応する \verb/[]/の記号に数値を付ける。 |
| 224 これで残る alive な仮定は $ (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow C)$ となり、これから $ A \Rightarrow C $ を導くことができたためにさらに $ \Rightarrow \mathcal{I} $ を適用する。 | |
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225 結果、証明すべき論理式$ ((A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow C)) \Rightarrow (A \Rightarrow C) $ が導けたために証明終了となる。 |
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227 % }}} |
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228 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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229 % {{{ Curry-Howard Isomorphism |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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230 |
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Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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231 \section{Curry-Howard Isomorphism} |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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232 \label{section:curry_howard_isomorphism} |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
233 \ref{section:natural_deduction}節では natural deduction における証明手法について述べた。 |
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13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
234 natural deduction における証明は Curry-Howard Isomorphism により型付き $ \lambda $ 計算と対応している。 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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235 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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236 $ \lambda $ 計算とは、計算モデルの1つであり、計算の実行を関数への適用としてモデル化したものである。 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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237 関数は $ \lambda $ 式として表され、引数を1つ取りその引数を計算する関数は式\ref{exp:lambda_expression}のように記述される。 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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238 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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239 \begin{equation} |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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240 \label{exp:lambda_expression} |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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241 \lambda x . x |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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242 \end{equation} |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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243 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
244 値と $ \lambda $ 式には型を付与することができ、その型の計算が natural deduction と対応している。 |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
245 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
246 例えば命題Aが成り立つためには A という型を持つ値が存在すれば良い。 |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
247 しかしこの命題は A という alive な仮定に依存している。 |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
248 natural deduction では A の仮定を dead にするために $ \Rightarrow \mathcal{I} $ により $ \Rightarrow $ を導入する。 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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23
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|
249 これが $ \lambda $ による抽象化に対応している。 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
250 |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
251 \begin{eqnarray} |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
252 x : A \\ \nonumber |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
253 \lambda x . x : A \rightarrow A |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
254 \end{eqnarray} |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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23
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|
255 |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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23
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|
256 プログラムにおいて、変数 x は内部の値により型が決定される。 |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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23
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|
257 特に、x の値が未定である場合は未定義の変数としてエラーが発生する。 |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
258 しかし、 x を取って x を返す関数は定義することはできる。 |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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23
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|
259 これは natural deduction の $ \Rightarrow \mathcal{I} $ により仮定を discharge することに相当する。 |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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23
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|
260 |
| 57 | 261 このように、 natural deduction における証明はそのまま 型付き $ \lambda $ 計算に変換することができる。 |
|
24
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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23
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|
262 |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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23
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changeset
|
263 それぞれの詳細な対応は省略するが、表\ref{tbl:curry_howard_isomorphism} のような対応が存在する。 |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
264 |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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23
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|
265 \begin{center} |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
266 \begin{table}[htbp] |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
267 \begin{tabular}{|c||c|c|} \hline |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
268 & natural deduction & 型付き $ \lambda $ 計算 \\ \hline \hline |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
269 hypothesis & $ A $ & 型 A を持つ変数 x \\ \hline |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
270 conjunction & $ A \land B $ & 型 A と型 B の直積型 を持つ変数 x \\ \hline |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
23
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|
271 disjunction & $ A \lor B $ & 型 A と型 B の直和型 を持つ変数 x \\ \hline |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
23
diff
changeset
|
272 implication & $ A \Rightarrow B $ & 型 A を取り型 B の変数を返す関数 f \\ \hline |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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23
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|
273 \end{tabular} |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
23
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|
274 \caption{natural deuction と 型付き $ \lambda $ 計算との対応} |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
23
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|
275 \label{tbl:curry_howard_isomorphism} |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
276 \end{table} |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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23
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|
277 \end{center} |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
23
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changeset
|
278 |
| 57 | 279 \ref{section:natural_deduction}節でも行なった三段論法の証明を Haskell により行なうとリスト\ref{src:modus_ponens}となる。 |
|
24
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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|
280 |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
23
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changeset
|
281 \begin{table}[html] |
|
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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23
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|
282 \lstinputlisting[label=src:modus_ponens, caption=Haskell における三段論法の証明] {src/modus_ponens.txt} |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
23
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changeset
|
283 \end{table} |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
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|
284 |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
23
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changeset
|
285 証明は $ \lambda $ 式の型として表現される。 |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
23
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changeset
|
286 Haskell における $ \lambda $ 式は \verb| \x -> x| のように表される。 |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
23
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|
287 \verb/\/ と \verb/->/ の間が引数であり、 \verb/->/ の後に処理を記述する。 |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
23
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changeset
|
288 また、$ \land $ に対応する直積型は tuple として提供される。 |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
23
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changeset
|
289 A と B の直積型は $ (A, B) $ として表現される。 |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
23
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changeset
|
290 そして、 $ \land 1 \mathcal{E} $ に対応する処理は関数 fst 、 $ \land 2 \mathcal{E} $ に対応する処理は関数 snd として提供される。 |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
23
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changeset
|
291 fst と snd が $ \land $ の除去に対応しているのは型を見ることで分かる。 |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
23
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changeset
|
292 |
|
13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
23
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|
293 そして三段論法の証明の解説を行なう。 |
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13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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23
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|
294 三段論法の仮定は、$ (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow C) $ であった。 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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295 この仮定を変数 cond として受けとる。 |
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13affa3e65a2
Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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23
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|
296 cond に対して fst を行なうことで $ (A \Rightarrow B) $ を、snd を行なうことで $ (B \Rightarrow C) $ を証明する。 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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23
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|
297 ここでさらに仮定 a を導入し、$ (A \Rightarrow B) $ と$ (B \Rightarrow C) $ に適用することで C を得る。 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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298 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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299 結果、 \verb/\cond -> (\a -> (snd cond ((fst cond) a)))/のような式が得られ、この型を確認すると正しく三段論法の証明となっている。 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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300 なお、型推論の際に A はt2 に、 B は t1 に、 C は t という型名になっている。 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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301 |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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302 % }}} |
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Add curry-howad isomorphism
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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303 |
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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304 % {{{ Agda による証明 |
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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305 |
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61e5659e04a9
Add description for natural deduction
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
306 \section{Agda による証明} |
| 26 | 307 \label{section:agda} |
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25
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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24
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|
308 \ref{section:curry_howard_isomorphism}節において型を用いて証明を行なう手法を述べた。 |
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
309 しかし、Haskell における型システムは証明を記述するために用いるものではない。 |
| 57 | 310 よって、依存型を持つ証明支援言語 Agda を用いて証明を記述する。 |
|
25
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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311 |
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
312 依存型とは値に依存した型を作ることができる型であり、非常に表現能力が高い。 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
313 値に型を使うことができるために証明に基づいた証明を記述することができる。 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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314 |
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
315 $ \Rightarrow \mathcal{E} $ に対応する関数適用を Agda で記述するとリスト\ref{src:apply_function_in_agda}のようになる。 |
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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316 |
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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317 \begin{table}[html] |
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
318 \lstinputlisting[label=src:apply_function_in_agda, caption=Agda における $ \Rightarrow \mathcal{E} $ ] {src/apply_function.agda} |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
319 \end{table} |
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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320 |
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
321 Agda による型注釈は \verb/ term : type/ と記述する。 |
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
322 postulate とすると alive な証明を記述することができる。 |
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
323 まずは alive な A を仮定している。 |
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
324 なお、Set 型は型の型として組込みで用意されている型である。 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
325 そのため詳細は省略するが、 A は型であると考える。 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
326 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
327 次に関数 f を仮定する。 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
328 仮定に用いられている記号 \verb/{}/ の内部の式は implicit な paramter である。 |
|
a0d91fbf4876
Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
329 任意の B の対してこの型が成り立つことを記述している。 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
330 implicit な parameter は可能であれば Agda が推論する。 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
331 そのため、f の見掛け上の型は \verb/A -> B/のようになる。 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
332 ここで、 B に明示的に値を代入することで f の型を変更することもできる。 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
333 このように Agda では型における引数のようなものが存在し、型の表現能力が高い。 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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334 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
335 A と f の2つを仮定したところで、証明である \verb/->E/を定義する。 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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24
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|
336 証明するべき式は \verb/->E/ の型として与えられ、証明は \verb/->E/ の式として記述する。 |
|
a0d91fbf4876
Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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24
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|
337 式の型に対する定義を正しく行なうことで証明を与える。 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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338 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
339 $ \Rightarrow \mathcal{E} $ に対応する \verb/->E/ は関数の適用なので、値a と関数 f を受けとって適用することで B が得られる。 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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24
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|
340 なお、仮定を alive のまま証明を記述するのは依存した仮定を残すことになるため、必要な仮定を引数として受けとったり、implicit な parameter として指定して証明するのが良い。 |
|
a0d91fbf4876
Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
341 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
342 また、Agda は証明に用いる規則なども Agda 内部で定義することができる。 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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24
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|
343 例えば、直積型の定義はリスト\ref{src:product}のようなものがある。 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
344 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
345 \begin{table}[html] |
|
41
8fc2ac1f901f
Add delta definition in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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40
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|
346 \lstinputlisting[label=src:product, caption=Agdaにおける直積型の例] {src/product.agda.replaced} |
|
25
a0d91fbf4876
Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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24
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|
347 \end{table} |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
348 |
|
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Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
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|
349 関数の定義時に \verb/_/ とした部分には項を入れることで関数が適用される。 |
| 57 | 350 つまり \verb/_/$ \times $\verb/_/ とすれば中置関数を作成することができる。 |
| 351 データ型 \verb/_/$ \times $\verb/_/ は型 A と B を持つ型である。 | |
| 352 データ型 \verb/_/$ \times $\verb/_/ はコンストラクタ \verb/<_,_>/ により構成され、コンストラクタは A と B を取ることで $ A \times B $ 型を返す。 | |
|
25
a0d91fbf4876
Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
24
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|
353 |
|
a0d91fbf4876
Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
24
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changeset
|
354 例えば型A と B から 直積型 $ A \times B $ が作成できる証明は constructProduct である。 |
| 57 | 355 任意の型AとBを受けとり、コンストラクタ \verb/<_,_>/を用いて $ A \times B $ に相当する値を返す。 |
|
25
a0d91fbf4876
Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
24
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changeset
|
356 |
| 57 | 357 また、コンストラクタは引数にてパターンマッチにより分解することができる。 |
|
25
a0d91fbf4876
Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
24
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|
358 その例が patternMatchProduct である。 |
| 57 | 359 受けとる引数の型は $ A \times B $ であるため、ありえるコンストラクタは \verb/<_,_>/のみである。 |
| 360 よって引数を取る際に \verb/< a , b >/ のように対応するコンストラクタと変数を用意することで、コンストラクタに基づいて値を分解することができる。 | |
| 361 $ A \times B$ 型から B を取るために、$ A \times B$ 型の引数を変数にを直接束縛せずにコンストラクタで分解し、a と b に束縛することで A と B を得る。 | |
| 362 b を返すことで型 B の値を返すことができる。 | |
|
25
a0d91fbf4876
Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
24
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|
363 そのため、 patternMathProduct は $ \land 2 \mathcal{E} $ そのものである。 |
|
a0d91fbf4876
Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
24
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|
364 |
|
a0d91fbf4876
Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
24
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changeset
|
365 % }}} |
|
a0d91fbf4876
Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
24
diff
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|
366 |
| 28 | 367 % {{{ Reasoning |
| 368 | |
| 26 | 369 \section{Reasoning} |
| 370 \label{section:reasoning} | |
| 371 \ref{section:agda} 節ではAgdaにおける証明の手法について解説した。 | |
| 372 \ref{section:reasoning}節では Agda における証明の例として、自然数の加法の交換法則を証明する。 | |
|
25
a0d91fbf4876
Add description prove method in agda
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
24
diff
changeset
|
373 |
| 26 | 374 まずは自然数を定義する。 |
| 375 今回用いる自然数の定義は以下のようなものである。 | |
| 376 | |
| 377 \begin{itemize} | |
| 378 \item 0 は自然数である | |
| 379 \item 任意の自然数には後続数が存在する | |
| 380 \item 0 はいかなる自然数の後続数でもない | |
| 381 \item 異なる自然数どうしの後続数は異なる ($ n \neq m \rightarrow S n \neq S m $) | |
| 382 \item 0がある性質を満たし、aがある性質を満たせばその後続数 S(n) も自然数である | |
| 383 \end{itemize} | |
| 384 | |
| 385 この定義は peano arithmetic における自然数の定義である。 | |
| 386 | |
| 387 Agda で自然数型 Nat を定義するとリスト \ref{src:nat} のようになる。 | |
| 388 | |
| 389 \begin{table}[html] | |
| 390 \lstinputlisting[label=src:nat, caption=Agda における自然数型 Nat の定義] {src/nat.agda} | |
| 391 \end{table} | |
| 392 | |
| 393 自然数型 Nat は2つのコンストラクタを持つ。 | |
| 394 | |
| 395 \begin{itemize} | |
| 396 \item O | |
| 397 | |
| 398 引数を持たないコンストラクタ。これが0に相当する。 | |
| 399 | |
| 400 \item S | |
| 401 | |
| 402 Nat を引数に取るコンストラクタ。これが後続数に相当する。 | |
| 403 | |
| 404 \end{itemize} | |
| 405 | |
| 406 よって、数値の 3 は \verb/S (S (S O))/ のように表現される。 | |
| 407 Sの個数が数値に対応する。 | |
| 408 | |
| 409 次に加算を定義する(リスト\ref{src:nat_add})。 | |
| 410 | |
| 411 \begin{table}[html] | |
| 412 \lstinputlisting[label=src:nat_add, caption=Agdaにおける自然数型に対する加算の定義] {src/nat_add.agda} | |
| 413 \end{table} | |
| 414 | |
| 415 加算は中置関数 \verb/_+_/ として定義する。 | |
| 416 2つの Nat を取り、Natを返す。 | |
| 57 | 417 関数 \verb/_+_/ はパターンマッチにより処理を変える。 |
| 26 | 418 0に対して m 加算する場合は m であり、 n の後続数に対して m 加算する場合は n に m 加算した数の後続数とする。 |
| 419 S を左の数から右の数へ1つずつ再帰的に移していくような加算である。 | |
| 420 | |
| 421 例えば 3 + 1 といった計算は (S (S (S O))) + (S O) のように記述される。 | |
| 422 ここで 3 + 1 が 4と等しいことの証明を行なう。 | |
| 423 | |
| 424 等式の証明には agda の standard library における Relation.Binary.Core の定義を用いる。 | |
| 425 | |
| 426 \begin{table}[html] | |
| 44 | 427 \lstinputlisting[label=src:equiv, caption= Relation.Binary.Core による等式を示す型 $ \equiv $] {src/equiv.agda.replaced} |
| 26 | 428 \end{table} |
| 57 | 429 Agda において等式は、等式を示すデータ型 $ \equiv $ により定義される。 |
| 26 | 430 $ \equiv $ は同じ両辺が同じ項に簡約される時にコンストラクタ refl で構築できる。 |
| 431 | |
| 432 実際に 3 + 1 = 4 の証明は refl で構成できる(リスト\ref{src:three_plus_one})。 | |
| 433 | |
| 434 \begin{table}[html] | |
| 435 \lstinputlisting[label=src:three_plus_one, caption= Agda における 3 + 1 の結果が 4 と等しい証明] {src/three_plus_one.agda} | |
| 436 \end{table} | |
|
23
61e5659e04a9
Add description for natural deduction
Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
parents:
diff
changeset
|
437 |
| 26 | 438 3+1 という1つの関数を定義し、その型として証明すべき式 \verb/(S (S (S O))) + (S O)≡(S (S (S (S O))))/ を記述する。 |
| 439 そして証明を関数の定義として記述する。 | |
| 440 今回は \verb/_+_/ 関数の定義により \verb/ (S (S (S (S O)))) / に簡約されるためにコンストラクタ refl が証明となる。 | |
| 441 | |
| 442 $ \equiv $ によって証明する際、必ず同じ式に簡約されるとは限らないため、いくつかの操作が Relation.Binary.PropositionalEquality に定義されている。 | |
| 443 | |
| 444 \begin{itemize} | |
| 445 \item sym : $ x \equiv y \rightarrow y \equiv x $ | |
| 446 | |
| 447 等式が証明できればその等式の左辺と右辺を反転しても等しい。 | |
| 448 | |
| 449 \item cong : $ f \rightarrow x \equiv y \rightarrow f x \equiv f y $ | |
| 450 | |
| 451 証明した等式に同じ関数を与えても等式は保たれる。 | |
| 452 | |
| 453 \item trans : $ x \equiv y \rightarrow y \equiv z \rightarrow x \equiv z $ | |
| 454 | |
| 455 2つの等式に表れた同じ項を用いて2つの等式を繋げた等式は等しい。 | |
| 456 \end{itemize} | |
| 457 | |
| 458 ではこれから nat の加法の交換法則を証明していく(リスト\ref{src:nat_add_sym})。 | |
| 459 | |
| 460 \begin{table}[html] | |
| 461 \lstinputlisting[label=src:nat_add_sym, caption= Agda における加法の交換法則の証明] {src/nat_add_sym.agda} | |
| 462 \end{table} | |
| 463 | |
| 464 証明する式は $ n + m \equiv m + n $ である。 | |
| 465 n と m は Nat であるため、それぞれがコンストラクタ O か S により構成される。 | |
| 466 そのためにパターンは4通りある。 | |
| 467 | |
| 468 \begin{itemize} | |
| 469 \item n = O, m = O | |
| 470 | |
| 471 + の定義により、 O に簡約されるため refl で証明できる。 | |
| 472 | |
| 473 \item n = O, m = S m | |
| 474 | |
| 475 $ O + (S m) \equiv (S m) + O $ を証明することになる。 | |
| 476 この等式は + の定義により $ O + (S m) \equiv S (m + O) $ と変形できる。 | |
| 27 | 477 $ S (m + O) $ は $ m + O $ に S を加えたものであるため、 cong を用いて再帰的に \verb/addSym/ を実行することで証明できる。 |
| 26 | 478 |
| 479 この2つの証明はこのような意味を持つ。 | |
| 480 n が 0 であるとき、 m も 0 なら簡約により等式が成立する。 | |
| 57 | 481 n が 0 であり、 m が 0 でないとき、 m は後続数である。 |
| 26 | 482 よって m が (S x) と書かれる時、 x は m の前の値である。 |
| 483 前の値による交換法則を用いてからその結果の後続数も + の定義により等しい。 | |
| 57 | 484 |
| 27 | 485 ここで、 \verb/addSym/ に渡される m は1つ値が減っているため、最終的には n = 0, m = 0 である refl にまで簡約され、等式が得られる。 |
| 26 | 486 |
| 487 \item n = S n, m = O | |
| 488 | |
| 489 $ (S n) + O \equiv O + (S n) $ を証明する。 | |
| 490 この等式は + の定義により $ S (n + O) \equiv (S n) $ と変形できる。 | |
| 491 さらに変形すれば $ S (n + O) \equiv S (O + n) $ となる。 | |
| 27 | 492 よって \verb/addSym/ により O と n を変換した後に cong で S を加えることで証明ができる。 |
| 26 | 493 |
| 494 ここで、 $ O + n \equiv n $ は + の定義により自明であるが、$ n + O \equiv n $ をそのまま導出できないことに注意して欲しい。 | |
| 495 + の定義は左側の項から S を右側の項への移すだけであるため、右側の項への演算はしない。 | |
| 496 | |
| 497 \item n = S n, m = S m | |
| 498 | |
| 499 3つのパターンは証明したが、このパターンは少々長くなるため別に解説することとする。 | |
| 500 \end{itemize} | |
| 501 | |
| 502 3 つのパターンにおいては refl や cong といった単純な項で証明を行なうことができた。 | |
| 503 しかし長い証明になると refl や cong といった式を trans で大量に繋げていく必要性がある。 | |
| 504 長い証明を分かりやすく記述するために $ \equiv $-Reasoning を用いる。 | |
| 28 | 505 |
| 506 $ \equiv $-Reasoning では等式の左辺を begin の後に記述し、等式の変形を $ \equiv \langle expression \rangle $ に記述することで変形していく。 | |
| 507 最終的に等式の左辺を $ \blacksquare $ の項へと変形することで等式の証明が得られる。 | |
| 508 | |
| 509 自然数の加法の交換法則を $ \equiv $-Reasoning を用いて証明した例がリスト\ref{src:nat_add_sym_reasoning}である。 | |
| 510 特に n と m が1以上である時の証明に注目する。 | |
| 511 | |
| 512 \begin{table}[html] | |
| 36 | 513 \lstinputlisting[label=src:nat_add_sym_reasoning, caption= $ \equiv $ - Reasoning を用いた証明の例] {src/nat_add_sym_reasoning.agda.replaced} |
| 28 | 514 \end{table} |
| 515 | |
| 516 まず \verb/ (S n) + (S m)/ は + の定義により \verb/ S (n + (S m)) / に等しい。 | |
| 517 よって refl で導かれる。 | |
| 518 なお、基本的に定義などで同じ項に簡約される時は refl によって記述することが多い。 | |
| 519 | |
| 520 次に \verb/S (n + (S m)) / に対して addSym を用いて交換し、 cong によって S を追加することで \verb/ S ((S m) + n) / を得る。 | |
| 521 これは、前3パターンにおいて + の右辺の項が 1以上であっても上手く交換法則が定義できたことを利用して項を変形している。 | |
| 522 このように同じ法則の中でも、違うパターンで証明できた部分を用いて別パターンの証明を行なうこともある。 | |
| 523 | |
| 524 最後に \verb/S ((S m) + n)/ から \verb/(S m) + (S n)/を得なくてはならない。 | |
| 525 しかし、 + の定義には右辺に対して S を移動する演算が含まれていない。 | |
| 526 よってこのままでは証明することができない。 | |
| 527 そのため、等式 $ S (m + n) \equiv m + (S n) $ を addToRight として定義する。 | |
| 528 addToRight の証明の解説は省略する。 | |
| 529 addToRight を用いることで \verb/S ((S m) + n)/ から \verb/(S m) + (S n)/を得られた。 | |
| 530 これで等式 $ (S m) + (S n) \equiv (S n) + (S m) $ の証明が完了した。 | |
| 531 | |
| 532 自然数に対する + の演算を考えた時にありえるコンストラクタの組み合せ4パターンのいずれかでも交換法則の等式が成り立つことが分かった。 | |
| 533 このように、Agda における等式の証明は、定義や等式を用いて右辺と左辺を同じ項に変形することで行なわれる。 | |
| 534 | |
| 535 % }}} |