Papers/2015/atton-thesis: delta.tex annotate

annotate delta.tex @ 10:c2dda6eeab57

Split chapter 3

author	Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp>
date	Sat, 07 Feb 2015 19:41:05 +0900
parents	324111203070
children	76ce5bb18092

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6 3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	1 \chapter{プログラムの変更を表現する Delta Monad}
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	2
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	3 本研究では Monad によりプログラムの変更を定義する。
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	4
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	5 そのためにまずはプログラムを定義する。
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	6 プログラムは型付けされた値と、値を値へと写像する関数のみで構成されるものとする。
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	7 プログラムの実行は関数の値への適用とする。
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	8 入出力といった、値や関数で表現できない計算はメタ計算とする。
10 c2dda6eeab57 Split chapter 3 Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 9 diff changeset	9 メタ計算をある性質を持つデータ構造に対応させ、メタ計算が必要な関数は値をデータ構造へと写像することで入出力といった処理を実現する。
6 3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	10 メタ計算とデータ構造の対応に用いる性質が Monad である。
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3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	12 プログラムの変更とは関数や値が変更されることであり、変更される量には単位があるとする。
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	13 最初の変更単位をバージョン1とし、変更された後のプログラムはバージョンが1増加する。
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3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	15 ここで、プログラムが変更される際に過去のバージョンのプログラムも保存するメタ計算を提案する。
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	16 全ての変更単位で変更されたプログラムを保存し、それらを比較することでプログラムの変更を表現しようと考えた。
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	17 このメタ計算を表す Monad を Delta Monad と呼ぶ。
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3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	19 \section{Delta Monad の定義}
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	20
9 324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	21 任意の型Aに対するメタ計算Tを考えた時、プログラムの変更は式\ref{meta_computation_definition}のように定義される。
6 3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	22
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	23 \begin{equation}
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	24 T A = V A
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	25 \label{meta_computation_definition}
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	26 \end{equation}
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	27
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	28 V はプログラムの全てバージョンの集合であり、V AとすることでAに対応する値の集合を返すものとする。
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	29
8 c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	30
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	31
6 3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	32 \section{Haskell における Delta Monad の実装例}
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	33
9 324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	34 式\ref{meta_computation_definition}のメタ計算をMonadで実現する。
6 3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	35
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	36 実装例としてプログラミング言語 Haskell を用いる。
8 c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	37
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	38 まずは全てのプログラムのバージョンを表わすデータ型 Delta を考える。
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	39 Delta の定義は \ref{src:delta_constructor} とする。
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c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	41 \begin{table}[html]
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	42 \lstinputlisting[label=src:delta_constructor, caption=Haskellにおけるデータ型Deltaの定義]{src/delta_constructor.hs}
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	43 \end{table}
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c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	45 データ型 Delta はコンストラクタ Delta もしくは Mono によって構成される。
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	46 バージョンが1である値は Mono によって構成される。
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	47 プログラムを変更する際には、コンストラクタ Delta を用いて記述し、変更後の値と前のバージョンを持つ。
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	48 なお、a とは任意の型であり、Delta が任意の型の値に対してもデータ型を構築できることを示す。
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c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	50 データ型 Delta に対応するメタ計算は\ref{src:delta_instance_monad}と定義する。
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c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	52 \begin{table}[html]
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	53 \lstinputlisting[label=src:delta_instance_monad, caption=Haskell におけるデータ型Deltaとメタ計算の関連付け]
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	54 {src/delta_instance_monad.hs}
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	55 \end{table}
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c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	57 Haskell においてメタ計算とデータ型の対応は Monad によって行なうため、 Monad という型クラスが用意されている。
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	58 型クラスとは特定の性質を持つ型をまとめるための制約である。
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	59 ある型が型クラスに属するためには制約として型クラスによって指定された関数を定義する必要がある。
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	60 型クラス Monad に要請される関数は return と \verb/>>=/ であり、型クラスは\ref{src:monad_class}のように定義されている。
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c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	62 \begin{table}[html]
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	63 \lstinputlisting[label=src:monad_class, caption=Haskell における Monad 型クラス]
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	64 {src/monad_class.hs}
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c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	67 関数 return は任意の型aを受けとり、メタ計算と対応された型に対応させて返す。
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	68 \verb/>>=/ は中置関数であり、left operand と right operand を取る。
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	69 left operand であるメタ計算と対応された値と、right operand であるメタ計算と対応された値を返す関数を取り、メタ計算を行ないながら関数を適用する。
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c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	71 型クラスMonad を Delta に適用した結果は以下のようになる。
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c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	73 \begin{itemize}
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	74 \item 関数 return
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	75
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	76 通常の値をメタ計算と対応させるため、値をバージョン1の値とする。
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	77 そのためにコンストラクタ Mono を用いる。
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	78
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	79 \item 中置関数 \verb/>>=/
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	80
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	81 メタ計算を含んだ関数の適用であるため、値と関数の同じバージョンを計算して返すものとなる。
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	82 もしバージョン1であった場合はコンストラクタは Mono であるため、Mono が持っている値に対して関数を適用することとなる。
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	83 もしバージョンが1で無い場合のコンストラクタは Delta であるため、先頭の値を用いて計算し、残りの値と結合することとなる。
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	84 その際、先頭の値を取り出すために headDelta 関数を、先頭以外の値を取り出すために tailDelta 関数を用いる。
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	85 \end{itemize}
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	86
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	87 なお、中置関数 \verb/>>=/ で用いたコンストラクタによる処理の分岐はパターンマッチと呼ばれる。
c4da3e667aad Add Delta definition in Haskell Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 6 diff changeset	88 Haskell ではコンストラクタごとに関数を記述することでパターンマッチを実現する。
6 3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	89
3b861ecdec9b Add description meta computation Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: diff changeset	90
9 324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	91 \section{Delta を用いたプログラムの変更の記述例}
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	92 プログラムの変更を表現するメタ計算に対応するデータ型 Delta が記述できた。
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	93
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	94 実際に Haskell で Delta を用いたプログラムの変更例を\ref{src:delta_example}に示す。
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324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	96 \begin{table}[html]
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	97 \lstinputlisting[label=src:delta_example, caption=Deltaを用いたプログラムの例]
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	98 {src/delta_example.hs}
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	99 \end{table}
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	100
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	101 \ref{src:delta_example}は1からnの間の整数に含まれる特定の数の個数を調べるプログラム numberCount である。
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	102
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	103 このプログラムは3つの関数からなり、2つのバージョンを含む。
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	104
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	105 \begin{itemize}
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	106 \item generator
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	107
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	108 1からnの間の整数を生成する関数である。
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	109 nを渡すことにより1からnの間の整数のリストを返す。
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	110
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	111 \item numberFilter
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	112
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	113 数のリストから特定の数のみを絞り込む関数である。
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	114 バージョン1では素数の数のみを絞り込み、バージョン2では偶数の数のみを絞り込んでいる。
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	115
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	116 \item count
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	117
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	118 数の個数を数える関数である。
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	119 整数はリストで与えられるため、リストの長さが個数であるとした。
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	120 \end{itemize}
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	121
10 c2dda6eeab57 Split chapter 3 Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 9 diff changeset	122 これらの関数3つをMonad の \verb/>>=/ によってメタ計算を含む関数呼び出しとして実行する。
c2dda6eeab57 Split chapter 3 Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 9 diff changeset	123 3つの関数を実行する関数が numberCount 関数であり、この関数がプログラム本体である。
c2dda6eeab57 Split chapter 3 Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 9 diff changeset	124 numberCount を実行すると \ref{txt:delta_example_result}のような結果が得られる。
9 324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	125
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	126 \begin{table}[html]
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	127 \lstinputlisting[label=txt:delta_example_result, caption=numberCountプログラムの実行結果] {src/delta_example_result.txt}
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324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	130 これはnに1000を与えた結果である。
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	131 バージョン1の時は素数の数を求めるため計算結果は168であり、バージョン2の時は偶数の数を求めるために計算結果は500となる。
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324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	133 3つの関数で構成されたプログラムに対して1つの変更を加えたプログラムを表現することができた。
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	134 つまり、Monad によってプログラムの変更をメタ計算として定義できたと言える。
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324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	136 Haskell において実装した Delta Monad はプログラムの変更を含めた計算もメタ計算としてHaskellで実行する。
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	137 これはプログラムの変更からどのような処理を導くかをメタ計算として Haskell で実行可能であることを意味する。
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	138 つまり、図\ref{fig:non_delta_example}のようにプログラムにおいてバージョンが変わるごとにバージョン間の関係が存在しない状態から、図\ref{fig:delta_example}のようにプログラムの変更を含めてプログラムを実行可能となったことを意味する。
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	139 例えば、プログラムの実行時にバージョン間の挙動の比較することで過去の挙動との差異を指摘することなどが可能となる。
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324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	141 \begin{figure}[htbp]
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	142 \begin{center}
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	143 \includegraphics[scale=0.8]{fig/non_delta_example.pdf}
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	144 \caption{Deltaを用いない通常のプログラムの例}
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	145 \label{fig:non_delta_example}
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	146 \end{center}
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324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	149 \begin{figure}[htbp]
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	150 \begin{center}
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	151 \includegraphics[scale=0.8]{fig/delta_example.pdf}
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	152 \caption{Deltaを用いたプログラムの例}
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	153 \label{fig:delta_example}
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	154 \end{center}
324111203070 Add example used delta Yasutaka Higa <e115763@ie.u-ryukyu.ac.jp> parents: 8 diff changeset	155 \end{figure}

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