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1 \section{Agda}
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3 Agda とは定理証明支援器であり、関数型言語である。Agda は依存型という型システ
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4 ムを持ち、型を第一級オブジェクトとして扱うことが可能である。また、型システムは
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5 Curry-Howard 同型対応により命題と型付きラムダ計算が一対一で対応するため Agda で
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6 は記述したプログラムを証明することができる。
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8 \subsection{プログラムの読み方}
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9 以下は Agda プログラムの一例となる。
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10 本節では以下のコードを説明することにより、Agda プログラムについて理解を深めることにより、
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11 後述する Agda コードの理解を容易にすることを目的としている。
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13 基本事項として、ℕ というのは自然数 (Natulal Number) のことである。
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14 また - (ハイフン) が2つ連続して並んでいる部分はコメントアウトであり、
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15 ここでは関数を実行した際の例を記述している。
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16 したがって、この関数は2つの自然数を受け取って足す関数であることが推測できる。
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18 \lstinputlisting[label=plus, caption=plus] {src/agda/plus.agda}
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20 この関数の定義部分の説明をする。コードの1行目に : (セミコロン)がある。
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21 この : の前が関数名になり、その後ろがその関数の定義となる。
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22 : 以降の (x y : ℕ ) は関数は x, y の自然数2つを受けとるという意味になる。
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23 → 以降は関数が返す型を記述している。
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24 まとめると、この関数 plus は、型が自然数である2つの変数が x, y を受け取り、
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25 自然数を返すという定義になる。
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27 実装部分の説明をする。
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28 関数の定義をしたコードの直下で実装を行うのが常である。
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29 関数名を記述した後に引数を記述して受け取り、= (イコール) 以降で
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30 引数に対応した実装をする。
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32 今回の場合 plus x zero であれば +0 である為、そのまま x を返す。
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33 実装2行目の方で受け取った y の値を減らし、x の値を増やして再び plus の関数に
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34 遷移している。
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35 受け取った y を +1 されていたとして y の値を減らしている。
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37 関数の実装全体をまとめると、x と y の値を足す為に y から x に数値を1つずつ渡す。
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38 y が 0 になった際に計算が終了となっている。
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39 指折りでの足し算を実装していると捉えても良い
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41 \subsection{Data 型}
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42 Deta 型とは分岐のことである。
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43 そのため、それぞれの動作について実装する必要がある。
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44 例として既出で Data 型である ℕ の実装を見てみる。
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46 \lstinputlisting[label=Nat, caption=Nat] {src/agda/Nat.agda}
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48 実装から、ℕ という型は zero と suc の2つのコンストラクタを持っていることが分かる。
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49 それぞれの仕様を見てみると、zeroは ℕ のみであるが、suc は (n : ℕ) → ℕ である。
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50 つまり、suc 自体の型は ℕ であるが、そこから ℕ に遷移するということである。
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51 そのため、suc からは suc か zero に遷移する必要があり、また zero に遷移することで停止する。
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52 したがって、数値は zero に遷移するまでの suc が遷移した数によって決定される。
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54 Data型にはそれぞれの動作について実装する必要があると述べたが、
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55 言い換えればパターンマッチをする必要があると言える。
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56 これは puls 関数で suc 同士の場合と、zeroが含まれる場合の両方を実装していることの説明となる。
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60 \subsection{Record 型}
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61 Record 型とはオブジェクトあるいは構造体ののようなものである。
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62 以下の関数は AND となる。p1で前方部分が取得でき、p2で後方部分が取得できる。
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64 \lstinputlisting[label=And, caption=And] {src/agda/And.agda}
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66 また、Agda の関数定義では\_(アンダースコア)で囲むことで三項演算子を定義することができる。
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68 これを使用して三段論法を定義することができる。
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69 定義は「AならばB」かつ「BならばC」なら「AならばC」となる。
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70 コードを以下に示す。
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72 \lstinputlisting[label=syllogism, caption=syllogism] {src/agda/syllogism.agda}
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74 コードの解説をすると、引数として x と a が関数に与えられている。
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75 引数 x の中身は((A → B) ∧ (B → C))、引数 a の中身は A である。
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76 したがって、(\_∧\_.p1 x a) で (A → B) に A を与えて B を取得し、
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77 \_∧\_.p2 x で (B → C) であるため、これに B を与えると C が取得できる。
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78 よって A を与えて C を取得することができたため、三段論法を定義できた。
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80 %\subsection{Agdaの基本操作}
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82 %\subsection{定理証明支援器としての Agda}
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84 %\subsectoin{}
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