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--- a/slide/lt.md	Sat Feb 11 22:51:00 2023 +0900
+++ b/slide/lt.md	Wed Feb 15 16:15:27 2023 +0900
@@ -69,63 +69,24 @@
   - C言語からループ構造とサブルーチンを取り除き、継続を導入したC言語の下位言語となる
 - 本研究では Gears Agda にて定理証明を用いた検証と、モデル検査による検証をする

+<!--
 # Agda の基本
 - Agdaとは定理証明支援器であり、関数型言語
 - Agdaでの関数は、最初に型について定義した後に、関数を定義する事で記述する
 - 型の定義部分で、入力と出力の型を定義できる
+- 関数の定義は = を用いて行う
   -  input → output のようになる
-- 関数の定義は = を用いて行う
   - 関数名を定義した行よりも後ろの行で実装する
   - = の前で受け取る引数を記述、= の後ろで実装を記述する
-
-<!--
-```
-sample : (A : Set ) → (B : Set ) → Set
-sample a b = b
-```
-
-
-# Agda の基本 record
-オブジェクトあるいは構造体
-```
-record Env  : Set where
-  field
-    varn : N
-    vari : N
-open Env
-```
-
-型に対応する値の導入(intro)
-```
-record {varn = zero ; vari = suc zero}
-```
-record の値のアクセス(elim)
-```
-(env : Env) → varn env
-```
 -->

-# Agda の基本 record
-オブジェクトあるいは構造体
-2つのものが同時に存在すること
-```
-record _∧_ (A B : Set) : Set where
-  field
-    p1 : A
-    p2 : B
-```
-３段論法を示すこともできる
-```
-syllogism : {A B C : Set} → ((A → B) ∧ (B → C)) → (A → C)
-syllogism x a = _∧_.p2 x (_∧_.p1 x a)
-```
-
 # CbC について
 - CbCとは当研究室で開発しているC言語の下位言語
     - 関数呼び出し時にスタックの操作を行わずjmp命令で次の処理に移動する
     - 処理の単位を Code Gear, データの単位を Data Gear として記述するプログラミング言語
 - CbC のプログラミングでは Data Gear を Code Gear で変更し、その変更を次の Code Gear に渡して処理を行う

+<!--
 # Normal level と Meta Level を用いた信頼性の向上
 プログラムを記述する際に、メモリ管理、スレッド管理、資源管理などのプログラムの本筋とは別に実装が必要な場合がある。これらの計算をメタ計算と呼ぶ。
 CbC では メタ計算を分離して考える。メタ計算以外を Normal levelとしている。
@@ -137,7 +98,7 @@
   - メモリやCPUなどの資源管理、ポインタ操作
   - Contextによる並列実行。monadに相当するData構造
   - Hoare Condition と証明
-
+-->

 # Normal level と Meta Level の対応
 ![height:400px](meta-cg-dg.jpg)
@@ -160,20 +121,6 @@
 - tail call により light weight continuation を定義している


-# Gears Agda と Gears CbC の対応
-Gears Agda
-- 証明向きの記述
-- Hoare Condition を含む
-
-Gears CbC
-- 実行向きの記述
-- メモリ管理, 並列実行を含む
-
-Context
-- processに相当する
-- Code Gear 単位で並列実行
-
-

 # Gears Agda と Hoare Logic
 <!-- class: slide -->
@@ -185,101 +132,6 @@
 - 事後条件を Code Gear のあとの Meta Gear で検証する。これを Post Condition とした
 - 今回は、例として While loop の Hoare Logic を用いた検証を行う

-<!--
-Gears Agda による Command の例
-
-```
-{-# TERMINATING #-}
-whileLoop : {l : Level} {t : Set l} → Env → (Code : Env → t) → t
-whileLoop env next with lt 0 (varn env)
-whileLoop env next | false = next env
-whileLoop env next | true = whileLoop (record {varn = (varn env) - 1 ; vari = (vari env) + 1}) next
-```
--->
-
-# Gears Agda での while loopの実装
-While Loopの実装は主に以下のDataGearとCodeGearで行った
-```
-record Env  : Set where
-  field
-    varn : ℕ -- これからループする回数
-    vari : ℕ -- 今までループした回数
-open Env
-```
-
-```
-{-# TERMINATING #-}
-whileLoop : {l : Level} {t : Set l} → Env → (Code : Env → t) → t
-whileLoop env next with lt 0 (varn env)
-whileLoop env next | false = next env
-whileLoop env next | true =
-    whileLoop (record {varn = (varn env) - 1 ; vari = (vari env) + 1}) next
-```
-
-# While loopでのInvariantの定義
-
-不変条件としてInvariantを定義した。これを実行しながら証明することでHoare Logic での検証ができる
-```
--- 初期値として、ループする前はループした回数は0であり
--- かつループする回数とループする回数は等しい
-((vari env) ≡ 0) /\ ((varn env) ≡ c10)
-```
-```
--- ループする回数とループした回数を足すと入力したループして欲しい回数と等しい
-(varn env) + (vari env) ≡ c10)
-```
-```
-vari e1 ≡ c10 -- ループした回数は入力したループして欲しい回数と等しい
-```
-
-# Gears Agda の Pre Condition / Post Condition
-ループ実行中の命題は以下のようになる。
-```
-whileLoopSeg : {l : Level} {t : Set l} → {c10 :  N } → (env : Env) → (varn env + vari env ≡ c10)
-   → (next : (e1 : Env )→ varn e1 + vari e1 ≡ c10 → varn e1 < varn env → t)
-   → (exit : (e1 : Env )→ vari e1 ≡ c10 → t) → t
-```
-- `{-# TERMINATING #-}`を避けるためにloopを分割
-- `varn env + vari env ≡ c10` が Pre Condition
-- `varn e1 + vari e1 ≡ c10` が Post Condition
-- `varn e1 < varn env` が停止を保証する減少列
-
-これは命題なので証明を与えて Pre Condition から Post Condition を導出する必要がある。証明は値として次の CodeGear に渡される
-
-# Loop の接続
-loop中のMeta Gearを作成する
-```
-TerminatingLoopS : {l : Level} {t : Set l} ( Index : Set )
-  → {Invraiant : Index → Set } → ( reduce : Index → N)
-  → (loop : (r : Index) → Invraiant r
-    → (next : (r1 : Index) → Invraiant r1 → reduce r1 < reduce r → t ) → t)
-  → (r : Index) → (p : Invraiant r) → t
-```
-- IndexはLoop変数
-- Invariantはloop変数の不変条件
-- loopに接続するCode Gearを与える
-  - つまりloopを抜ける際の Code Gear。ここでは next がそれにあたる
-- reduceは停止性を保証する減少列
-  - この減少列のおかげで`{-# TERMINATING #-}`が外せる
-
-これを証明することで検証ができる
-
-# 実際のloopの接続
-証明したい性質を以下のように記述する
-```
-whileTestSpec1 : (c10 : N) →  (e1 : Env ) → vari e1 ≡ c10 → ⊤
-whileTestSpec1 _ _ x = tt
-```
-loopをTerminatingLoopSで接続して仕様記述に繋げる
-```
-proofGearsTermS : {c10 :  N} → ⊤
-proofGearsTermS {c10} = whileTest' {_} {_}  {c10} (λ n p →  conversion1 n p (λ n1 p1 →
-    TerminatingLoopS Env (λ env → varn env)(λ n2 p2 loop → whileLoopSeg {_} {_} {c10} n2 p2 loop
-    (λ ne pe → whileTestSpec1 c10 ne pe)) n1 p1 ))
-```
-- conversion1はPre Condition をPost Conditionに変換する
-- ⊤は正しいことを示す論理記号
-

 # 定理証明とtest との違い
 - test では実値を与えた際の出力が仕様に沿ったものであるかを検証する
@@ -300,185 +152,8 @@
 - 今回は Gears Agda にてモデル検査をすることで、並列実行の検証を行う
 - 題材として、 Dining Philosophers Problem のモデル検査にてdead lockを検知する

-# Dining Philosophers Problem
-||哲学者の遷移|
-|---|---|
-|![height:450px](DPP.jpg)|制約 <br> - 哲学者と同じ数のフォークが存在する <br> - 両手にフォークを持つと食事できる <br> 哲学者のフロー <br> 1. 哲学者は思考をしている  <br> 2. 食事をするために右のフォークを取る <br> 3. 次に左のフォークを取る <br> 4. 両方のフォークが取れたら食事をする <br> 5. 思考に戻るために左のフォークを置く <br> 6. 次に右のフォークを置く |
-
-# Dining Philosophers Problem の実装
-- DPPはマルチプロセスの同期問題である
-  - しかし、Agdaでは並列実行をサポートしていないため、step実行毎に一つずつ処理することで並列実行を表現している
-- 加えて、哲学者が思考を止めて食事をしようとするのか、食事中に思考に戻ろうとするのかで分岐が発生する
-  - 今回はその状態に対して網羅することでモデル検査を行っている
-
-# Dining Philosophers Problem の実装
-Gears Agdaで使用する Data Gear を以下のように定義した
-```
-record Phi : Set where
-  field
-    pid : ℕ
-    right-hand : Bool
-    left-hand : Bool
-    next-code : Code
-open Phi
-```
-```
-record Env : Set where
-  field
-    table : List ℕ
-    ph : List Phi
-open Env
-```
-
-# Dining Philosophers Problem の実装
-```
-data Code : Set  where
-   C_putdown_rfork : Code
-   C_putdown_lfork : Code
-   C_thinking : Code
-   C_pickup_rfork : Code
-   C_pickup_lfork : Code
-   C_eating : Code
-```
-
-```
-code_table : {n : Level} {t : Set n} → Code → ℕ → Phi → Env → (Env → t) → t
-code_table C_putdown_rfork = putdown-rfork-c
-code_table C_putdown_lfork = putdown-lfork-c
-code_table C_thinking = thinking-c
-code_table C_pickup_rfork = pickup-rfork-c
-code_table C_pickup_lfork = pickup-lfork-c
-code_table C_eating = eating-c
-```
-
-# Dining Philosophers Problem の実装
-以下が哲学者の動作の実装の一つ
-```
-pickup-lfork-c : {n : Level} {t : Set n} → ℕ → Phi → Env → (Env → t) → t
-pickup-lfork-c ind p env exit = pickup-lfork-p (suc ind) [] (table env) p env exit where
-  pickup-lfork-p : {n : Level} {t : Set n} → ℕ → (f b : List ℕ) → Phi → Env → (Env → t) → t
-  pickup-lfork-p zero f [] p env exit with table env
-  ... | [] = exit env
-  ... | 0 ∷ ts = exit record env{ph = ((ph env) ++ (record p{left-hand = true ;
-         next-code = C_eating} ∷ [])); table = ((pid p) ∷ ts)}
-  ... | (suc x) ∷ ts = exit record env{ph = ((ph env) ++ p ∷ [])}
-  pickup-lfork-p zero f (0 ∷ ts) p env exit = exit record env{
-    ph = ((ph env) ++ (record p{left-hand = true ;
-         next-code = C_eating} ∷ [])); table = (f ++ ((pid p) ∷ ts))}
-```
-
-# モデル検査でのデッドロック検知
-- 今回Gears Agdaでのデッドロックの定義として、以下2つを設定した
-  - その状態から分岐が作れない
-    - ThinkingやEathingのときに乱数が出るので、その際に分岐するようにしている。それがないということ
-  - step実行時に状態が一切変化しない
-- Gears Agda にて出現する状態を全て網羅する
-  - step 実行を無限に続ける
-  - 一度分岐を確認した状態に対しては flag を立てる
-  - 全ての状態の分岐を確認したら停止し、これを State List とした
-- これで全ての状態に対して dead Lock しているのか検証する
-
-# モデル検査での Meta Data Gear
-以下の Meta Data Gear を定義した
-```
-record metadata : Set where
-  field
-    num-branch : ℕ -- その状態から発生する分岐の数
-    wait-list : List ℕ -- step実行で変化がなかったプロセス
-open metadata
-```
-```
-record MetaEnv : Set where
-  field
-    DG : List Env -- historyを持つためListにしている
-    meta : metadata
-    deadlock : Bool
-    is-done : Bool
-    is-step : Bool
-open MetaEnv
-```
-
-# モデル検査での Meta Data Gear
-```
-record MetaEnv2 : Set where
-  field
-    DG : List (List Env) -- HistoryをもったEnv(状態)を配列として複数持っている。
-    metal :  List MetaEnv
-open MetaEnv2
-```
-
-# モデル検査でのデッドロック検知
-網羅には以下の Meta CodeGear を実装した
-```
-check-deadlock-metaenv : {n : Level} {t : Set n} → MetaEnv2 → (exit : MetaEnv2 → t) → t
-check-deadlock-metaenv meta2 exit = search-brute-force-envll-p [] (metal meta2)
-  (λ e → exit record meta2{metal = e}) where
-  search-brute-force-envll-p : {n : Level} {t : Set n} → (f b : List (MetaEnv))
-    → (exit : List (MetaEnv) → t) → t
-  search-brute-force-envll-p f [] exit = exit f
-  search-brute-force-envll-p f b@(metaenv ∷ bs) exit with DG metaenv
-  ... | [] = search-brute-force-envll-p f bs exit
-  ... | (env ∷ envs) =  brute-force-search env (λ e0 → search-brute-force-envll-p
-    (f ++ ( record metaenv{meta = record (meta metaenv)
-    {num-branch = (length e0)} } ∷ [])) bs exit )
-```
-step実行しても状態が変更しない Meta Code Gear も同じように実装している。
-これで meta データ を定義できるようになった。
-
-
-# モデル検査でのデッドロックの検知
-metaデータから deadlock を検出する Meta Code Gear にて 、モデル検査を Gears Agda にて行えるようになった。
-
-```
-judge-deadlock-metaenv : {n : Level} {t : Set n} → MetaEnv2 → (exit : MetaEnv2 → t) → t
-judge-deadlock-metaenv meta2 exit = judge-deadlock-p [] (metal meta2)
-  (λ e → exit record meta2{metal = e} ) where
-  judge-deadlock-p : {n : Level} {t : Set n} → (f b : List (MetaEnv))
-    → (exit : List (MetaEnv) → t) → t
-  judge-deadlock-p f [] exit = exit f
-  judge-deadlock-p f (metaenv ∷ bs) exit with num-branch (meta metaenv)
-  ... | suc (suc branchnum) = judge-deadlock-p (f ++ (metaenv ∷ []) ) bs exit
-  ... | zero = judge-deadlock-p (f ++ (metaenv ∷ []) ) bs exit
-  ... | suc zero with (DG metaenv )
-  ... | [] = judge-deadlock-p (f ++ (metaenv ∷ []) ) bs exit
-  ... | p ∷ ps with <-cmp (length (wait-list (meta metaenv))) (length (ph p))
-  ... | tri< a ¬b ¬c = judge-deadlock-p (f ++ (metaenv ∷ []) ) bs exit
-  ... | tri> ¬a ¬b c = judge-deadlock-p (f ++ (metaenv ∷ []) ) bs exit
-  ... | tri≈ ¬a b ¬c = judge-deadlock-p (f ++ (record metaenv{deadlock = true} ∷ []) ) bs exit
-```
-
-# Gears Agda でのモデル検査の実行
-以下の関数にてモデル検査を行うことができる
-```
-{-# TERMINATING #-}
-test-dead-lock-loop2 : MetaEnv2 → MetaEnv2
-test-dead-lock-loop2 metaenv2 = branch-search-meta2 metaenv2
-  (λ me2 → step-meta2 me2
-  (λ me3 → testhoge me3 metaenv2
-  (λ me4 → test-dead-lock-loop2 me4) ) )
-(λ e → check-and-judge-deadlock e (λ e1 → e1) )
-```
-<!-- initから投げるまでにした方がいいかもしれないな -->
-
-- Code Gear を繋げたものでは、Agdaは停止性を理解できないので、`{-# TERMINATING #-}`を使用してちゃんと止まることを記述している。
-  - 今回の DPP の状態は有限であることが予めわかっていたから可能だった
-  - 状態爆発が起こったり無限にある場合は、範囲を制限してモデル検査する方法が用いられる (bounded model checking)
-
-# 今後の研究方針
-- モデル検査
-    - 有向グラフからなる有限オートマトンの遷移を全自動探索する
-    - live lock の検出や LTTL も用いたアサーションなどの検証
-    - State List のデータ構造を blanced tree にする
-    - モデル検査に定理証明を組み込む
-- 定理証明
-    - Red Black Tree の検証を行う
-- Gears Agda
-    - Gears Agda を CbC に自動変換できるようにする
-
-
-# まとめ
+# できたこと
 - 定理証明について、Invariant によるプログラムの検証を行うことができるようになった

 - Gears Agda によるモデル検査により、並列動作の検証を行えるようになった

-<!-- 英語版も欲しい-->
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